Question

【題目】如圖1，在中，，是邊上一動點，以點為頂點，為一腰作等腰，使，且，設，，我們稱為的“頂補三角形”．

（1）求與的數量關系；

（2）如圖2，為的“頂補三角形”，過點作的平行線，交于點，若四邊形是平行四邊形，求證：；

（3）如圖3，四邊形中，，，點在上，，B，，且，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據等腰三角形的內角關系可以得到，，再結合，即可求出和的關系；

（2）由于四邊形是平行四邊形，所以,則,同時由得到，在（1）中得到“頂補三角形”的性質，，所以，即可得證；

（3）連接,由已知條件可以證得，所以,根據三角形的外角定理可以得到,結合已知條件，可以得到，而，，所以是的“頂補三角形”，結合在（1）中得到“頂補三角形”的性質可以得到，過點分別作，上的高，，可以證得，相似比為，所以，與此同時結合等腰三角形的性質可以得，，所以，而，所以，

則，即可求解；

解：（1）∵在中，，

，．

在中，，

，．

，

．

．

（2）為的“頂補三角形”，

，．

四邊形是平行四邊形，

．

．

．

．

（3）連接，

，，，

．

．．

．

，

．

．

又，，

是的“頂補三角形”．

．

過點分別作，上的高，．

則有．

．

同理可證．

．

，分別是等腰與等腰底邊上的高，

，．

，，，

．

．

，

，即．

．

．