Question

如圖，在平面直角坐標系中，等腰梯形OABC，CB∥OA，且點A在x軸正半軸上．已知C（2，4），BC=4．
（1）求過O、C、B三點的拋物線解析式，并寫出頂點坐標和對稱軸；
（2）經過O、C、B三點的拋物線上是否存在P點（與原點O不重合），使得P點到兩坐標軸的距離相等？如果存在，求出P點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據C（2，4），BC=4且BC∥OA，能得出B的坐標，設拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），把O、B、C的坐標代入拋物線的解析式得出一個三元一次方程組，求出方程組的解，即求出a、b、c的值，代入解析式即可；
（2）根據題意，設P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），分別把（a，a）和（a，-a）代入（1）求出的拋物線即可求出a的值，即得出答案．

解答：解：（1）∵C（2，4），BC=4且BC∥OA，
∴B（6，4），
設拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0）
將O（0，0），C（2，4），B（6，4）代入得

c=0 4a+2b+c=4

且

4a+2b+c=4 36a+6b+c=4

，
解得：

a=- 1 3 b= 8 3 c=0

，
∴y=-

1

3

x2+

8

3

x，
∴頂點(4，

16

3

)對稱軸：直線x=4，
答：過O、C、B三點的拋物線解析式是y=-

1

3

x2+

8

3

x，
頂點坐標是(4，

16

3

)，對稱軸是直線x=4．

（2）解：根據題意，設P（a，a）或P（a，-a）（a≠0），
將P（a，a）代入拋物線得-

1

3

a2+

8

3

a=a解得a₁=5，a₂=0（舍），
將P（a，-a）代入拋物線得-

1

3

a2+

8

3

a=-a解得a₁=11，a₂=0（舍），
∴符合條件的點p（5，5）和p（11，-11），
答：存在，P點坐標是（5，5）和（11，-11）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，解三元一次方程組，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目．