Question

小明手上一張扇形紙片OAB．現要求在紙片上截一個正方形，使它的面積盡可能大．
小明的方案是：如圖，在扇形紙片OAB內，畫正方形CDEF，使C、D在OA上，F在OB上；連接OE并延長交弧AB于I，畫IH∥ED交OA于H，IJ∥OA交OB于J，再畫JG∥FC交OA于G．
（1）你認為小明畫出的四邊形GHIJ是正方形嗎？如果是，請證明．如果不是，請說明理由．
（2）如果扇形OAB的圓心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四邊形GHIJ面積是多少（結果精確到0.1cm）．
（3）（1）中小明畫出的四邊形GHIJ如果是正方形，我們把它叫做扇形的內接正方形（四個頂點分別在扇形的半徑和弧上）．請你再畫出一種不同于圖（1）的扇形的內接正方形（保留畫圖痕跡，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）根據HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，利用矩形的判定得出四邊形JGHI是矩形，進而利用平行線分線段成比例定理得出即可；
（2）正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，表示出GO=

3

x，HO=x+

3

x，再利用勾股定理(

3

x+x)2+x 2=36求出即可；
（3）畫一個使正方形一邊平行于AB的一個正方形即可．

解答：（1）答：是．
證明：∵在扇形紙片OAB內，畫正方形CDEF，IH∥ED交OA于H，
IJ∥OA交OB于J，JG∥FC交OA于G，
∴HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，
∴∠JGH=∠IHG=∠JIH=90°，
∴四邊形JGHI是矩形，
∵HI∥DE，JG∥FC，JI∥GH，
∴

EO

IO

=

FE

JI

，

EO

IO

=

DE

HI

，
∴

FE

JI

=

DE

HI

，
∵FE=DE，
∴JI=HI，
∴矩形JGHI是正方形，

（2）解：設正方形GHIJ的邊長為x，則GH=HI=JG=x，
∵∠AOB=30°，OA=6cm，
在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，
∴GO=

3

x，
∴HO=x+

3

x，
∴(

3

x+x)2+x 2=36，
x²=

36×(5-2 3 )

13

≈4.3，
所以正方形GHIJ的面積是4.3cm²．

（3）解：如圖：

點評：此題主要考查了正方形的判定以及勾股定理的應用和作一個正方形等知識，靈活應用正方形的性質以及得出HI，IO，HO的關系是解決問題的關鍵．