Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O與BC相交于點D，與CA的延長線相交于點E，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）試說明DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE=6，求tanC．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）

解：連接BE，AD，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE=6，

∴AB=3AE=6，AE=2，

∴CE=4AE=8，

∴BE= =4 ，

∴tanC= = ．

【解析】（1）連接OD，根據等邊對等角性質和平行線的判定和性質證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；（2）根據圓周角定理、勾股定理得出BE=2 AE，CE=4AE，然后根據勾股定理求得BE=2 AE，根據三角函數的定義即可得到結論．