Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動．設動點運動時間為t秒．

（1）求AD的長；
（2）當△PDC的面積為15平方厘米時，求t的值；
（3）動點M從點C出發以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發，且當點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①根據等腰三角形性質和勾股定理解答即可；
②根據直角三角形面積求出PD×DC×

1

2

=15即可求出t；
③根據題意列出PD、MD的表達式解方程組，由于M在D點左右兩側情況不同，所以進行分段討論即可，注意約束條件．

解答：解：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，
∴AD²=AC²-CD²
∴AD=12cm．

（2）AP=t，PD=12-t，
又∵由△PDM面積為

1

2

PD×DC=15，
解得PD=6，∴t=6．

（3）假設存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若點M在線段CD上，
即 0≤t≤

5

2

時，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=5，
2t²-29t+50=0
解得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若點M在射線DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=5，
2t²-29t+70=0
解得 t 1=

29+ 281

4

，t 2=

29- 281

4

．（2分）
綜上，存在t的值為2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）

點評：此題關鍵為利用三角形性質勾股定理以及分段討論，在解方程時，注意解是否符合約束條件．