Question

如下圖所示，在⊙O中，過圓周上一點A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分別為弦AB及AC的中點，連接MN并兩向延長，交圓于P和Q兩點．求證PM＝NQ．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作OH⊥PQ于H，則PH＝HQ，連接OM，ON．∵M，N分別是弦AB，AC的中點， 　　∴OM⊥AB，ON⊥AC． 　　又∵AB＝AC，∴OM＝ON． 　　∵OH⊥MN，∴MH＝HN． 　　∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ． 　　分析：欲證PM＝NQ，由PQ為弦，容易聯想到作弦心距OH，則PH＝HQ．現只需證MH＝HN即可．又M，N分別為弦AB，AC的中點，易知OM＝ON．故原結論可證． 　　小結：本例反復運用垂徑定理及其推論來達到證題的目的，要仔細體會遇弦作弦心距這種輔助線作法的作用．