Question

【題目】已知等邊△ABC，D是BC上一點，E是平面上一點，且DE＝AD，∠ADE＝60°，連接CE．

（1）當點D是線段BC的中點時，如圖1．判斷線段BD與CE的數量關系，并說明理由；

（2）當點D是線段BC上任意一點時，如圖2．請找出線段AB，CE，CD三者之間的數量關系，并說明理由；

（3）當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，若△ABC邊長為6，設CD＝x，則線段CE＝　 　（用含x的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，理由見解析；（2）AB＝CE+CD，理由見解析；（3）x+6．

【解析】

（1）連接AE，根據等邊三角形的判定定理得到△ADE是等邊三角形，根據等腰三角形的性質得到AD平分∠BAC，得到AC垂直平分DE，根據線段垂直平分線的定義證明結論；

（2）連接AE，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等解答；

（3）連接AE，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得到BD＝CE，代入計算得到答案．

（1）BD＝CE，

證明：如圖1，連接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠DAE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，

∴AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝30°，

∵∠DAE＝60°，

∴AC平分∠DAE，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AC垂直平分DE，

∴CE＝CD，

∵BD＝CD，

∴CE＝BD；

（2）AB＝CE+CD，

證明：如圖2，連接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE，

∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD；

（3）如圖3，連接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

,

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE，

∴CE＝BD＝BC+CD＝x+6，

故答案為：x+6．