Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+4a+3（a＜0）的頂點為D，它的對稱軸與x軸交點為M．

（1）求點D、點M的坐標；

（2）如果該拋物線與y軸的交點為A，點P在拋物線上，且有MA∥DP，DP=AM，求該拋物線解析式．

Answer 1

【答案】（1）D(2,3)，M（2,0）；（2）y=﹣x2+6x﹣3

【解析】

（1）由y=ax2-4ax+4a+3=a（x-2）2+3，即可得到頂點D(2,3)，M（2,0）；（2）作PN⊥DM于N，由△PDN∽△MAO，得由OM=2,OA=-4a-3,PN=1，故P（1，a+3）,DN=-a,根據OA=2DN,可得方程-4a-3=-2a，即可解出a的值.

解：（1）∵y=ax2-4ax+4a+3=a（x-2）2+3，

∴頂點D(2,3)，M（2,0）；

（2）作PN⊥DM于N，

∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，

∵DG∥OA,

∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，

∵∠PND=∠MAO=90°，

∴△PDN∽△MAO，

∴

∵OM=2,OA=-4a-3,PN=1，

∴P（1，a+3）

∴DN=-a,

∵OA=2DN,

∴-4a-3=-2a，

a=-

∴解析式為y=﹣x2+6x﹣3