Question

已知拋物線的解析式y=ax²+c滿足如下三個條件：a+c=3，ac=-4，a＜c．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點為C．
①在第一象限內，這條拋物線上有一點P，AP交y軸于點D，若OD=

3

2

，試比較S_△APC與S_△AOC的大��；
②在第一象限內，這條拋物線上是否存在點P′，使得S△AP′C=S△AOC？若存在，請求出點P′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將a+c=3，ac=-4組合，利用a＜c，即可確定a，c的值；
（2）①利用點P在拋物線y=-x²+4上的第一象限內的點，得出m＞0，n＞0，且n=-m²+4，進而求出OG=

5

4

，再利用已知求出S_△PDC，S_△AOD的面積，進而得出S_△APC與S_△AOC的大小關系；
（2）利用平行線分線段成比例定理得出

AO

AM

=

OD′

P′M

，以及利用三角形面積關系得出S△AOD′=S△P′CD′，進而求出m的值，即可求出點P′的坐標．

解答：解：（1）由

a+c=3 ac=-4

解得：

a1=-1 c1=4

或

a2=4 c2=-1

，
∵a＜c，
∴

a2=4 c2=-1

（不合題意，舍去），
∴a=-1，c=4，
∴所求的拋物線的解析式為：y=-x²+4；

（2）①在拋物線y=-x²+4中，令y=0，
得x=±2；
當x=0時，y=4，
∴A、B、C三點的坐標分別為（-2，0），（2，0），（0，4）．
過點P作PG⊥x軸于G，設點P的坐標為（m，n），
∵點P在拋物線y=-x²+4上的第一象限內的點，
∴m＞0，n＞0，且n=-m²+4，
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2，
∵OD∥PG，OD=

3

2

，
∴

AO

AG

=

DO

PG

，
即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

，
解得m₁=

5

4

，m₂=-2（舍去），
∴OG=

5

4

．
又∵CD=OC-OD=4-1.5=2.5，
∴S_△PDC=

1

2

CD•GO=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

，
∴S_△AOD=

1

2

AO•DO=

1

2

×2×

3

2

=

24

16

，
∴S_△PDC＞S_△AOD．
又∵S_△APC=S_△PDC+S_△ADC，S_△AOC=S_AOD+S_ADC，
∴S_△APC＞S_△AOC，
②在第一象限內，設在拋物線上存在點P′（m，n），
使得S△AP′C=S△AOC，
過點P′作P^′M⊥x 軸于點M，
則m＞0，n＞0且n=-m²+4．
∴OM=m，P′M=-m²+4，OA=2，AM=m+2，
設AP′交y軸于點D′，設OD^′=t，
∵OD^′∥P^′M，
∴

AO

AM

=

OD′

P′M

，即

2

2+m

=

t

-m2+4

，
化簡得mt+2t=8-m² ①
∵CD′=OC-OD′=4-t，
∴S_△P′CD′=

1

2

CD′•OM=

1

2

（4-t）•m，
S_△AOD′=

1

2

OA•OD′=

1

2

×2•t=t，
∵S△AP′C=S△AOC，
∴S△AOD′=S△P′CD′，
即t=

1

2

（4-t）m，即mt+2t=4m ②
由①②兩式得8-2m²=4m，
即m²+2m-4=0，
解得：m₁=

5

-1，m₂=-

5

-1（不合題意舍去），
此時，n=-m2+4=-(

5

-1)2+4=2

5

-2．
∴存在點P′（

5

-1，2

5

-2），
使得S△AP′C=S△AOC．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及一元二次方程解法和三角形面積求法等知識，熟練利用三角形面積關系得出是解題關鍵．