Question

已知拋物線的頂點為P，與軸交于點A，與直線OP交于點B.
（Ⅰ）如圖1，若點P的橫坐標為1，點B的坐標為（3，6），試確定拋物線的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若點M是直線AB下方拋物線上的一點，且，求點M的坐標；
（Ⅲ）如圖2，若點P在第一象限，且PA=PO，過點P作PD⊥軸于點D.將拋物線平移，平移后的拋物線經過點A、D，該拋物線與軸的另一個交點為C，請探究四邊形OABC的形狀，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）依題意, , 解得b=-2.
將b=-2及點B(3, 6)的坐標代入拋物線解析式得
.
解得 c=3.
所以拋物線的解析式為.  
（Ⅱ）∵拋物線與y軸交于點A，
∴ A(0, 3).
∵ B(3, 6),
可得直線AB的解析式為.                 
設直線AB下方拋物線上的點M坐標為（x，），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N, 則N(x, x+3).
 
∴ .
∴.
解得 .                                         
∴點M的坐標為(1, 2) 或 (2, 3).                      
（Ⅲ）如圖，由 PA="PO," OA="c," 可得.

∵拋物線的頂點坐標為 ,          
∴ .
∴ .              
∴ 拋物線,  A（0，），P（，）, D（,0）.
可得直線OP的解析式為.     
∵ 點B是拋物線
與直線的圖象的交點，
令 .
解得.                  
可得點B的坐標為（-b，）. 
由平移后的拋物線經過點A, 可設平移后的拋物線解析式為.
將點D(，0)的坐標代入，得.
∴ 平移后的拋物線解析式為. 
令y="0," 即.
解得.
依題意, 點C的坐標為（-b，0）.    
∴ BC=.
∴ BC= OA.
又BC∥OA，
∴ 四邊形OABC是平行四邊形.
∵ ∠AOC=90°，
∴ 四邊形OABC是矩形.      

解析