已知:如圖,拋物線(
)與
軸交于點
( 0,4) ,與
軸交于點
,
,點
的坐標為(4,0).
(1) 求該拋物線的解析式;
(2) 點是線段
上的動點,過點
作
∥
,交
于點
,連接
. 當
的面積最大時,求點
的坐標;
(3)若平行于軸的動直線與該拋物線交于點
,與直線
交于點
,點
的坐標為(2,0). 問: 是否存在這樣的直線,使得
是等腰三角形?若存在,請求出點
的坐標;若不存在,請說明理由.
(1);(2)(1,0);(3)(
,3)或(
,3)或(
,2)或(
,2)
解析試題分析:(1)由拋物線與軸交于點
(0,4),與
軸交于點
(4,0)根據待定系數法即可求得結果;
(2)先求得拋物線與x軸的交點坐標,根據勾股定理可得,
,
,設
,
的面積用
表示,由
∥
可得
, 即
,即可表示出CE的長,過點
作
,垂足為
,在Rt
中求得∠B的正弦函數,在Rt
中即可表示出QM的長,從而可以表示出y關于x的函數關系式,再根據二次函數的性質即可求得結果;
(3)分為底邊、
為腰且
為頂角、
為腰且
為頂角三種情況分析即可.
(1)∵拋物線(
)與
軸交于點
(0,4),與
軸交于點
(4,0)
∴,解得
∴該拋物線的解析式為;
(2)令,則
,解得
,
∴
∴,
,
設,
的面積用
表示,
∵∥
∴ ,即
∴
過點作
,垂足為
在Rt中,
在Rt中,
∴
∴當時,
的面積最大是3,即點
的坐標為(1,0);
(3)①當為底邊時,點
的橫坐標是1,又點
在直線
上,直線
的解析式為
,所以點
的坐標是(1,3),所以點
的縱坐標為3,代入
,得點
的坐標為(
,3)或(
,3)
②當為腰,
為頂角時,此時點
是以點
為圓心,
為半徑的
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