【題目】如圖1,拋物線:
與
:
相交于點O、C,
與
分別交x軸于點B、A,且B為線段AO的中點.
(1)求的值;
(2)若OC⊥AC,求△OAC的面積;
(3)拋物線C2的對稱軸為l,頂點為M,在(2)的條件下:
①點P為拋物線C2對稱軸l上一動點,當△PAC的周長最小時,求點P的坐標;
②如圖2,點E在拋物線C2上點O與點M之間運動,四邊形OBCE的面積是否存在最大值?若存在,求出面積的最大值和點E的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)①P(
,
);②E(
,
),
.
【解析】
試題分析:(1)由兩拋物線解析式可分別用a和b表示出A、B兩點的坐標,利用B為OA的中點可得到a和b之間的關系式;
(2)由拋物線解析式可先求得C點坐標,過C作CD⊥x軸于點D,可證得△OCD∽△CAD,由相似三角形的性質可得到關于a的方程,可求得OA和CD的長,可求得△OAC的面積;
(3)①連接OC與l的交點即為滿足條件的點P,可求得OC的解析式,則可求得P點坐標;
②設出E點坐標,則可表示出△EOB的面積,過點E作x軸的平行線交直線BC于點N,可先求得BC的解析式,則可表示出EN的長,進一步可表示出△EBC的面積,則可表示出四邊形OBCE的面積,利用二次函數的性質可求得其最大值,及E點的坐標.
試題解析:
(1)在y=x2+ax中,當y=0時,x2+ax=0,x1=0,x2=﹣a,∴B(﹣a,0),在y=﹣x2+bx中,當y=0時,﹣x2+bx=0,x1=0,x2=b,∴A(0,b),∵B為OA的中點,∴b=﹣2a,∴;
(2)聯立兩拋物線解析式可得:,消去y整理可得
,解得
,
,當
時,
,∴C(
,
),過C作CD⊥x軸于點D,如圖1,∴D(
,0),∵∠OCA=90°,∴△OCD∽△CAD,∴
,∴CD2=ADOD,即
,∴a1=0(舍去),
(舍去),
,∴OA=-2a=
,CD=
=1,∴
;
(3)①拋物線,∴其對稱軸
,點A關于l2的對稱點為O(0,0),C(
,1),則P為直線OC與l2的交點,設OC的解析式為y=kx,∴1=
k,得k=
,∴OC的解析式為
,當
時,
,∴P(
,
);
②設E(m,)(
),則
,而B(
,0),C(
,1),設直線BC的解析式為y=kx+b,由
,解得:k=
,b=-2,∴直線BC的解析式為
,過點E作x軸的平行線交直線BC于點N,如圖2,則
,即x=
∴EN=
∴
∴S四邊形OBCE=S△OBE+S△EBC
,∵
,∴當
時,
,當
時,
,∴E(
,
),
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知一次函數y=x﹣1的圖象經過P1(x1 , y1)、P2(x2 , y2)兩點,若x1<x2 , 則y1y2(填“>”,“<”或“=”)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點.
(1)求該二次函數的解析式;
(2)點D是該二次函數圖象上的一點,且滿足∠DBA=∠CAO(O是坐標原點),求點D的坐標;
(3)點P是該二次函數圖象上位于一象限上的一動點,連接PA分別交BC,y軸與點E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1-S2的最大值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某中學了解本校學生對球類運動的愛好情況,分為足球、籃球、排球、其他四個方面調查若干名學生,每人只選其中之一,統計后繪制成不完整的“折線統計圖”(扇形統計圖),根據信息解答下列問題:
(1)在這次調查中,一共調查名學生;
(2)在扇形統計圖中,“足球”所在扇形圓心角度;
(3)將折線統計圖補充完整.
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