Question

如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．

（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．

Answer 1

（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證。
（2）  

分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證。
（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由⊙O過H，CH垂直于AB，得到⊙O與AB相切，由（1）得到⊙O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF∽△BCH，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據EF與BE的長，利用勾股定理求出FB的長，由BH﹣BF求出HF的長，利用銳角三角形函數定義即可求出tan∠BHE的值。
解：（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，∴∠ACH=∠BCH。
∵OD⊥CA，OE⊥CB，∴OE=OD。
又∵OD為⊙O的半徑，∴⊙O與CB相切于點E。
（2）∵CA=CB，CH是高，∴AH=BH=AB=3。
∴，
∵點O在高CH上，⊙O過點H，∴圓O與AB相切于H點。
由（1）得⊙O與CB相切于點E，∴BE=BH=3。
如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，∴△BEF∽△BCH。

∴，即，解得：。
∴。
在Rt△BEF中，，∴。
∴。