Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過點D作DE⊥AD交AB于點E，以AE為直徑作⊙O．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖所示．

在Rt△ADE中，點O為AE的中心，

∴DO=AO=EO= AE，

∴點D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAO，

∴∠ADO=∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

又∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，

∴AB=5．

設OD=r，則BO=5﹣r．

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：r= ，

∴BE=AB﹣AE=5﹣ =

【解析】（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根據AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“內錯角相等，兩直線平行”可得出AC∥DO，再結合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，進而即可證出BC是⊙O的切線；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的長度，設OD=r，則BO=5﹣r，由OD∥AC可得出 = ，代入數據即可求出r值，再根據BE=AB﹣AE即可求出BE的長度．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．