Question

如圖，△ABC內接于圓O，AD是圓O的直徑，AH⊥BC，垂足為H，連接BD．
（1）求證：△ABD∽△AHC；
（2）若tan∠ABC=

1

3

，AH=

3

，CH=

2

，求圓O的直徑長．

Answer 1

分析：（1）由于AD為直徑，AB⊥BD，又AH⊥BC，弧AB對應的∠ADB=∠ACB，則得證△ABD∽△AHC．
（2）由AH、CH的長求得AC的長，由tan∠ABC=

1

3

求得BH的長，再得AB的長，最后由相似三角形對應邊成比例求得AD的長．

解答：（1）證明：∵AD是圓O的直徑，∴∠ABD=90°．
∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°．
∴∠ABD=∠AHC．
∵∠D=∠C（同弧所對的圓周角相等），
∴△ABD∽△AHC．

（2）解：∵AH⊥CH，AH=

3

，CH=

2

，
∴AC=

5

．
∵tan∠ABC=

1

3

，AH=

3

，
∴BH=3

3

，AB=

(3 3 )2+( 3 )2

=

30

．
∵△ABD∽△AHC，
∴

AB

AH

=

AD

AC

，即

30

3

=

AD

5

，解得AD=5

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及解直角三角形的應用，同學們應好好掌握．