Question

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=$\frac{3}{4}$，∠ADC=45°，DC=6，求sin∠BAD．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，如圖，先判斷△ACD為等腰直角三角形得到AC=CD=6，AD=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$，再在Rt△ABC中利用∠B的正切可求出BC=8，則BD=BC-CD=2，接著在Rt△BDE中，由于tanB=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，則可設DE=3x，BE=4x，所以BD=5x=2，解得x=$\frac{2}{5}$，則DE=3x=$\frac{6}{5}$，然后在Rt△ADE中利用正弦的定義求解．

解答 解：作DE⊥AB于E，如圖，
∵∠C=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=CD=6，AD=$\sqrt{2}$CD=6$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=8，
∴BD=BC-CD=2，
在Rt△BDE中，tanB=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{4}$，
設DE=3x，BE=4x，則BD=5x，
∴5x=2，解得x=$\frac{2}{5}$，
∴DE=3x=$\frac{6}{5}$，
在Rt△ADE中，sin∠EAD=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{6}{5}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關鍵是構建一個直角三角形，使∠BAD為其一個內角．