Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠ABC＝∠CAD.

（1）若∠ABC＝20°，則∠OCA的度數為    ；
（2）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若OD⊥AB，BC＝5，AB＝8，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）70°；（2）相切；（3）

試題分析：（1）連接OA，根據圓周角定理可求得∠AOC的度數，再根據圓的基本性質即可求得結果；
（2）延長AO與⊙O相交于點E，連接EC．先根據圓周角定理求得∠ECA＝90°，再結合ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，可得∠EAC＋∠CAD＝90°，即可證得結論；    
（3）設OD與AB的交點為點G．根據垂徑定理可得AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，在Rt△ACG中，可得GC＝3．在Rt△OGA中，設OA＝x，根據勾股定理即可列方程求解．
（1）連接OA

∵∠ABC＝20°
∴∠AOC＝40°
∵OA=OC
∴∠OCA＝70°； 
（2）延長AO與⊙O相交于點E，連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ECA＝90°，
∴∠EAC＋∠AEC＝90°．
又∵∠ABC＝∠AEC，∠ABC＝∠CAD，
∴∠EAC＋∠CAD＝90°．
即OA⊥AD，而點A在⊙O上，
∴直線AD與⊙O相切；    
（3）設OD與AB的交點為點G．
∵OD⊥AB，
∴AG＝GB＝4. AC＝BC＝5，
在Rt△ACG中，可得GC＝3．  
在Rt△OGA中，設OA＝x，
由OA²＝OG²＋AG²，得x²＝(x－3)²＋4²  
解得x＝，即⊙O的半徑為．
點評：圓的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.