Question

如圖，有一塊三角形的余料△ABC，它的高AH=40mm，邊BC=80mm，要把它加工成一個矩形，使矩形的一邊EF落在BC上，其余兩個頂點D、G分別在AB、AC上．
（1）求證：△ADG∽△ABC；
（2）設DE=xmm，矩形DEFG的面積為ymm²，寫出y與x的函數關系式；
（3）當x為何值時，y有最大值，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）由于四邊形DEFG是矩形，所以DG∥EF，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，

（2）由△ADG∽△ABC得=，
∴==，
∴DG=2（40-x）
則矩形面積y=x•2（40-x）=-2x²+80x=-2（x-20）²+800
整理得y=-（x-20）²+800．

（3）當-（x-20）²=0時．y的值最大．
解得x=20，即當x=20時，y的值最大，最大值為800．
答：（2）y與x的函數關系式為：y=-（x-20）²+800．
（3）當x=20時，y的值最大，最大值為800．
分析：（1）利用矩形的性質，DG∥EF，利用同位角相等，即可求證△ADG∽△ABC；
（2）根據△ADG∽△ABC，利用相似比等于對應高的比，求得DG=2（40-x），然后即可求出用x、y表示的矩形面積的關系式．
（3）當-（x-20）²=0時．y的值最大．解得x即可．
點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質，二次函數的最值，矩形的性質，等知識點的理解和掌握，此題的關鍵是利用相似三角形對應邊的比等于其對應高的比，求得DG=2（40-x），然后即可求得y與x的函數關系式和最值．