Question

如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，延長AB到E，使BE=AB，連接CE．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線；
（2）連接OE交BC于點F，若OF=2，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由O為正方形的中心得到∠OCB為45°，再由AB=BC=BE，得到三角形BCE為等腰直角三角形，即∠BCE為45°，進而確定出∠OCE為直角，即CE垂直于OC，可得證；
（2）過O作OG垂直于AB，利用垂徑定理得到AG=BG，可得出BE與EG的比值，根據FB與OG平行，由平行得比例，根據OF的長即可求出EF的長．

解答：解：（1）連接OC，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠OCB=45°，
∵AB=BC=BE，∠CBE=90°，
∴△CBE為等腰直角三角形，即∠BCE=45°，
∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴CE⊥OC，
則CE為圓O的切線；

（2）過O作OG⊥AB，可得出AG=BG=

1

2

AB=

1

2

BE，
∵FB⊥AE，OG⊥AE，
∴FB∥OG，
∴

EF

EF+OF

=

BE

BE+GB

，即

EF

EF+2

=

2

3

，
解得：EF=4．

點評：此題考查了切線的判定，正方形的性質，平行線的性質，垂徑定理，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．