Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．

（1）求二次函數y=ax2+bx+c的表達式；
（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行與y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；
（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+9，

∵拋物線與y軸交于點A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：當y=0時，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

設直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；

設P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，

∴當x=﹣ = 時，

∴S四邊形APCD最大=

（3）

解：如圖，

過M作MH垂直于對稱軸，垂足為H，

∵MN∥AE，MN=AE，

∴△HMN≌△AOE，

∴HM=OE=1，

∴M點的橫坐標為x=3或x=1，

當x=1時，M點縱坐標為8，

當x=3時，M點縱坐標為8，

∴M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），

∵A（0，5），E（﹣1，0），

∴直線AE解析式為y=5x+5，

∵MN∥AE，

∴MN的解析式為y=5x+b，

∵點N在拋物線對稱軸x=2上，

∴N（2，10+b），

∵AE2=OA2+0E2=26

∵MN=AE

∴MN2=AE2，

∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2

∵M點的坐標為M1（1，8）或M2（3，8），

∴點M1，M2關于拋物線對稱軸x=2對稱，

∵點N在拋物線對稱軸上，

∴M1N=M2N，

∴1+（b+2）2=26，

∴b=3，或b=﹣7，

∴10+b=13或10+b=3

∴當M點的坐標為（1，8）時，N點坐標為（2，13），

當M點的坐標為（3，8）時，N點坐標為（2，3）

【解析】（1）設出拋物線解析式，用待定系數法求解即可；（2）先求出直線AB解析式，設出點P坐標（x，﹣x2+4x+5），建立函數關系式S四邊形APCD=﹣2x2+10x，根據二次函數求出極值；（3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點的橫坐標，從而求出點M，N的坐標．此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數關系式，函數極值的確定方法，平行四邊形的性質和判定，解本題的關鍵是建立函數關系式求極值．
【考點精析】掌握二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．