Question

如圖，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙，“4開”紙，“8開”紙，“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為a．
（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”張紙按如下步驟折疊：
第一步：將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點B落在AD上的點B'處，鋪平后得折痕AE；
第二步：將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF．
則AD：AB的值是______，AD，AB的長分別是______，______；
（2）“2開”紙，“4開”紙，“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值；
（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構成“L”型圖案，它的四個頂點E，F，G，H分別在“16開”紙的邊AB，BC，CD，DA上，求DG的長；
（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四個頂點M，N，P，Q都在“4開”紙的邊上，請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的面積．

Answer 1

解：（1）；

（2）相等，比值為；

（3）設DG=x
在矩形ABCD中，∠B=∠C=∠D=90°
∵∠HGF=90°
∴∠DHG=∠CGF=90°-∠DGH
∴△HDG∽△GCF
∴
∴CF=2DG=2x
同理∠BEF=∠CFG
∵EF=FG
∴△FBE≌△GCF
∴BF=CG=a-x
∵CF+BF=BC
∴
解得，
即；

（4）a²，a²．
分析：（1）在圖2中，由折疊的性質知，AD=AE，AB=AB′=B′E，∠AB′E=∠B=90°，所以△AB′E是等腰直角三角形，故有AD：AB=，由圖知，16開紙的長邊是1開紙的長邊和四分之一，16開紙的短邊也是1開紙的短邊和四分之一，故AD=a，AB=a；
（2）由（1）知，1開紙的長邊為a，由折疊的性質知，“2開”紙的短邊是1開紙的長邊的一半，長邊是1開紙的短邊，“4開”紙的短邊是2開紙的長邊的一半，長邊是2開紙的短邊，“8開”紙的短邊是4開紙的長邊的一半，長邊是4開紙的短邊，故“2開”紙，“4開”紙，“8開”紙的長與寬之比都相等都等于；
（3）設DG=x，由同角的余角相等可得△HDG∽△GCF，有，得CF=2DG=2x．
同理∠BEF=∠CFG．由EF=FG，得△FBE≌△GCF，有BF=CG由CF+BF=BC，得，求解即為DG的值．
（4）
“4開”紙的短邊和短都是1開紙的長邊和短邊的一半，分別為a，a，如圖，梯形有兩種情況，①如左圖，MN=MQ=2QP=a，則它的面積=（MN+PQ）•MQ=a²．
②如右圖，由于“4開”紙的短邊和短都是16開紙的長邊和短邊的2倍，則有BQ=2×a=a，AQ=a，AM=（-1）a．由勾股定理知，MQ²=AM²+AQ²=a，
∴此時的梯形的面積=（MN+PQ）•MQ=a²．
點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；
2、等腰直角三角形的性質，矩形的性質，勾股定理，相似三角形和全等三角形的判定和性質，梯形的面積公式等知識點．