Question

正方形ABCD的邊長為4，P是BC上一動點，QP⊥AP交DC于Q，設PB=x，△ADQ的面積為y．
（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）（1）中函數若是一次函數，求出直線與兩坐標軸圍成的三角形面積；若是二次函數，請利用配方法求出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（3）畫出這個函數的圖象；
（4）點P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ的面積的

2

3

？若存在，求出BP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ADQ中，已知了直角邊AD的長，欲求其面積，需求得直角邊DQ的長；已知∠APQ=90°，顯然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的長，根據相似三角形所得比例線段，即可求得CQ的表達式，可得到DQ的表達式，從而根據直角三角形的面積公式求出y、x的函數關系式．
（2）由（1）可知，y、x的函數關系式是個二次函數，用配方法將其解析式化為頂點坐標式，即可求得拋物線的頂點坐標和對稱軸方程．
（3）可根據（1）所得拋物線的解析式，通過描點、連線畫出此拋物線的圖象．
（4）由于BP=x，易知△ABP的面積為2x，根據△ABP和△ADQ的面積關系，可得到關于x的方程，通過解方程可求得x的值即BP的長（注意x的值應符合自變量的取值范圍），從而確定出點P在線段BC上的位置．

解答：解：（1）畫出圖形，
設QC=z，由Rt△ABP～Rt△PCQ，

4

4-x

=

x

z

，
z=

x(4-x)

4

，①
y=

1

2

×4×（4-z），②
把①代入②y=

1

2

x²-2x+8（0＜x＜4）．

（2）y=

1

2

x²-2x+8=

1

2

（x-2）²+6，
∴對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，6）．

（3）如圖所示；

（4）存在，由S_△APB=

2

3

S_△ADQ，可得y=3x，
∴

1

2

x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴當P為BC的中點時，△PAB的面積等于△ADQ的面積的

2

3

．

點評：本題是幾何與代數的綜合應用，同時也是一道探索性問題．在實際問題中，自變量的取值應結合實際意義確定．