Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A、B的坐標分別是（5，0）、（3，2），點D在線段OA上，BD=BA，點Q是線段BD上一個動點，點P的坐標是（0，3），設直線PQ的解析式為y=kx+b．
（1）求k的取值范圍；
（2）當k為取值范圍內的最大整數時，若拋物線y=ax²-5ax的頂點在直線PQ、OA、AB、BC圍成的四邊形內部，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點P的坐標求出b的值，再根據對稱性結合點A、B的坐標求出點D的坐標，然后利用待定系數法求出BD的解析式，聯立直線BD與PQ的解析式，根據x的值在1到3之間列出不等式求解即可；
（2）根據（1）的結論求出k值，再根據拋物線的對稱軸x=-

b

2a

求出對稱軸解析式，然后求出頂點坐標，再求出直線PQ與對稱軸的交點坐標，然后根據頂點在直線PQ、OA、AB、BC圍成的四邊形內部列式求解即可．

解答：解：（1）直線y=kx+b經過P（0，3），
∴b=3，
∵B（3，2），A（5，0），BD=BA，
∴點D的坐標是（1，0），
∴BD的解析式是y=x-1（1≤x≤3），
依題意，得

y=x-1 y=kx+3

，
∴x=

4

1-k

，
∴1≤

4

1-k

≤3，
解得-3≤k≤-

1

3

；

（2）∵-3≤k≤-

1

3

，且k為最大整數，
∴k=-1，
則直線PQ的解析式為y=-x+3，
又∵x=-

b

2a

=-

-5a

2×a

=

5

2

，

4ac-b2

4a

=

-(-5a)2

4a

=-

25

4

a，
∴拋物線y=ax²-5ax的頂點坐標是（

5

2

，-

25

4

a），
對稱軸為x=

5

2

，
解方程組

y=-x+3 x= 5 2

，得

x= 5 2 y= 1 2

，
即直線PQ與對稱軸為x=

5

2

的交點坐標為（

5

2

，

1

2

），
∴

1

2

＜-

25

4

a＜2，
解得-

8

25

＜a＜-

2

25

．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，待定系數法求直線的解析式，兩直線交點的求解方法，不等式組的求解，以及二次函數的性質，頂點坐標，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．