Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內部一點，且∠APB=∠BPC=135°

（1）求證：△PAB∽△PBC

（2）求證：PA=2PC

（3）若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12=h2·h3

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）結合題意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可證明△PAB∽△PBC；

（2）根據（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；

（3）過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根據△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC

又∠APB=135°，

∴∠PAB+∠PBA=45°，

∴∠PBC=∠PAB，

又∵∠APB=∠BPC=135°，

∴△PAB∽△PBC；

（2）∵△PAB∽△PBC，

∴，

在Rt△ABC中，AC=BC，

∴,

∴

∴PA=2PC；

（3）

過點P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點D，E，

∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，

∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,

又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°

∴∠EAP=∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即，∴

∵△PAB∽△PBC，

∴

即.