Question

如圖，在△ABC中，AB＞AC，I為△ABC的內心，D點在BC邊上且∠ACB=2∠CDI．求證：AB=AC+BD．

Answer 1

解：連接AI，BI，CI，過點I作IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC垂足分別為E，M，F，
∵I為△ABC的內心，
∴∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠ICB，
又∵IE⊥AB，IM⊥BC，IF⊥AC，
∴EI=IM=IF，
在Rt△AEI和Rt△AFI中，
∵，
∴Rt△AEI≌Rt△AFI（HL），
則AE=AF，
同理可得出：BE=BM，FC=MC，
∵∠ACB=2∠CDI，
∴∠ICD=∠IDC，
∴ID=IC，
∵IM⊥CD，
∴DM=CM，
∴AE+BE=AF+BM=AF+BD+DM=AF+FC+BD=AC+BD，
即AB=AC+BD．
分析：根據內心的性質以及角平分線的性質得出EI=IM=IF，進而利用全等得出AE=AF，BE=BM，FC=MC，即可得出AB=AC+BD．
點評：此題主要考查了內心的性質以及角平分線的性質和全等三角形的判定與性質等知識，根據已知得出DM=CM以及AE=AF，BE=BM，FC=MC是解題關鍵．