Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側，且AB=8），與y軸交于點C，其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的兩個根．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）解方程x²-14x+48=0得x₁=6，x₂=8，
由題意得
A（-6，0），C（0，8），B（2，0）
∵點C（0，8）在拋物線y=ax²+bx+c的圖象上，∴c=8，
將A（-6，0）、B（2，0）代入表達式，得，
　解得    ．
∴所求拋物線的表達式為y=-x²-x+8；

（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=即=，
∴EF=． …
過點F作FG⊥AB，垂足為G，
則sin∠FEG=sin∠CAB=，
∴=，
∴FG=•=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）=（8-m）m=-m²+4m．
自變量m的取值范圍是0＜m＜8；

（3）存在．
理由：∵S=-m²+4m=-（m-4）²+8且-＜0，
∴當m=4時，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴點E的坐標為（-2，0），
∴△BCE為等腰三角形．
分析：（1）根據知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側，且AB=8），與y軸交于點C，其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OA、OC的長（OA＜OC）是方程x²-14x+48=0的兩個根．
求出兩根，根據題意得出A，B，C的坐標，從而可求出拋物線的解析式．
（2）依題意，AE=m，則BE=8-m，證明出相似三角形以及根據相似三角形的對應線段成比例，和三角函數的運用，以及根據三角形的面積的差做為等量關系求出s和m的函數式．
（3）在（2）的基礎上試說明S存在最大值，可求出S的值，并且可知道△BCE是等腰三角形．
點評：本題考查二次函數的綜合運用，關鍵是根據坐標確定二次函數式，求出s和m的函數關系式，以及看看是否有最大值，確定三角形的形狀．