Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．點D是BC邊上的一動點（不與點B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處．當△AEF為直角三角形時，BD的長為______．

Answer 1

根據題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED=90°-∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，
∴∠AEF=180°-∠BEF=60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan∠B=3×

3

3

=

3

，∠BAC=60°，
如圖①若∠AFE=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠FAC=∠EFD=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=

3

×

3

3

=1，
∴BD=DF=

BC-CF

2

=1；
如圖②若∠EAF=90°，
則∠FAC=90°-∠BAC=30°，
∴CF=AC•tan∠FAC=

3

×

3

3

=1，
∴BD=DF=

BC+CF

2

=2，
∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：1或2．