Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y ＝，點C的坐標為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上． 

(1) 寫出點M的坐標；

(2) 當四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時．

① 求t關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；

② 當梯形CMQP的兩底的長度之比為1∶2時，求t的值．

Answer 1

(1)因為AB＝OC＝ 4，A、B關于y軸對稱，所以點A的橫坐標為2．將x＝2代入y＝，得y＝2．所以點M的坐標為（0，2）．

(2) ① 如圖2，過點Q作QH ^ x軸，設垂足為H，則HQ＝y，HP＝x– t ．

因為CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．

如圖3，當P與C重合時，，解方程，得．

如圖4，當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x＝± 2．

因此自變量x的取值范圍是，且x¹± 2的所有實數．

           

圖2                       圖3                     圖4

②因為sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．

當時，．解方程，得（如圖5）．此時．

當時，．解方程，得．

如圖6，當時，；如圖6，當時，．

        

圖5                    圖6                            圖7