Question

如圖，△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．以點H為原點，BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）一條拋物線經過D、B、C三點，求這條拋物線的解析式；
（2）猜想：線段BG與CE之間存在數量關系BG=CE嗎？若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
（3）將△DHC進行平移、旋轉、翻折（無任何限制），使它與△BDH拼成特殊四邊形（面積不變）．則（1）中拋物線上是否存在點P，使它成為所拼特殊四邊形異于B、H、D三點的頂點？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求拋物線的解析式，需明確B、C、D三點的坐標；已知BC的長，且H是BC的中點，則B、C的坐標可求．在Rt△BDC中，∠DBC=45゜，很顯然該三角形是等腰直角三角形，則DH=BH=HC，由此求得點D的坐標，再利用待定系數法即可得出拋物線的解析式．
（2）由（1）知：△BDC是等腰直角三角形，即y軸正好是BC的垂直平分線，那么BG=GC，若連接GC，那么∠EGC=2∠EBC．由題意，在等腰△ABC中，BE⊥AC，顯然BE是∠ABC的平分線，那么可得到的條件：∠EGC=∠ABC=45゜，在等腰Rt△EGC中，易得CG、CE的數量關系，而BG=GC，由此得解．
（3）若與△BDH拼成特殊四邊形（面積不變），那么點P應該位于第一、二、三象限，且得到的特殊四邊形為：正方形（BD、CD重合）、平行四邊形（CH、BH重合或CH、HD重合），先求出這些點的坐標，然后代入拋物線中進行驗證即可．
解答：解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．
∵H是BC的中點，∴DH=BH=CH=BC=1．
∴B（-1，0）、C（1，0）．
又∵∠ABC=45゜，∴△BCD是等腰直角三角形，即y軸是BC的中垂線；
∴點D在y軸上，即D（0，1）．
設過B、C、D三點的拋物線解析式為 y=a（x+1）（x-1），則有：
1=a（0+1）（0-1），解得 a=-1；
∴拋物線的解析式為 y=-x²+1．

（2）線段BG與CE之間存在數量關系BG=CE．
證明：連接CG．
∵H是BC的中點，DH⊥BC，∴CG=BG，∴∠GCB=∠GBC．
∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC．
又∵∠ABC=45゜，
∴∠GCB=∠BGC=22.5゜．
∴∠CGE=∠GCB+∠GBC=45゜．
∵BE⊥AC，
∴CG===CE．
∴BG=CE．

（3）不存在符合條件的點P，理由：
∵將△DHC平移、旋轉、翻折（次數不限）后的三角形與△BDH能拼成特殊四邊形，
∴拼成的特殊四邊形除D、H、C三點外的第四個頂點的坐標只能是（1，1）或（-1，1）或（-1，-1）．
經檢驗，點（1，1）、（-1，-1）、（-1，1）均不在（1）的拋物線y=-x²+1上，故不存在符合條件的點P．
點評：該題涉及了二次函數解析式的確定，特殊三角形、特殊四邊形的判定和性質等重點知識．在解題時，應注重數形結合的數學思想．