Question

8．在如圖所示的平面直角坐標系中，△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，作△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關于點B₁成中心對稱，再作△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關于點B₂成中心對稱，如此作下去，則△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整數）的頂點A_2n+1的坐標是（4n+1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 首先根據△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，可得A₁的坐標為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標為（2，0）；然后根據中心對稱的性質，分別求出點A₂、A₃、A₄的坐標各是多少；最后總結出A_n的坐標的規律，求出A_2n+1的坐標是多少即可．

解答 解：∵△OA₁B₁是邊長為2的等邊三角形，
∴A₁的坐標為（1，$\sqrt{3}$），B₁的坐標為（2，0），
∵△B₂A₂B₁與△OA₁B₁關于點B₁成中心對稱，
∴點A₂與點A₁關于點B₁成中心對稱，
∵2×2-1=3，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點A₂的坐標是（3，-$\sqrt{3}$），
∵△B₂A₃B₃與△B₂A₂B₁關于點B₂成中心對稱，
∴點A₃與點A₂關于點B₂成中心對稱，
∵2×4-3=5，2×0-（-$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴點A₃的坐標是（5，$\sqrt{3}$），
∵△B₃A₄B₄與△B₃A₃B₂關于點B₃成中心對稱，
∴點A₄與點A₃關于點B₃成中心對稱，
∵2×6-5=7，2×0-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴點A₄的坐標是（7，-$\sqrt{3}$），
…，
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…，
∴A_n的橫坐標是2n-1，A_2n+1的橫坐標是2（2n+1）-1=4n+1，
∵當n為奇數時，A_n的縱坐標是$\sqrt{3}$，當n為偶數時，A_n的縱坐標是-$\sqrt{3}$，
∴頂點A_2n+1的縱坐標是$\sqrt{3}$，
∴△B_2nA_2n+1B_2n+1（n是正整數）的頂點A_2n+1的坐標是（4n+1，$\sqrt{3}$）．
故答案為：（4n+1，$\sqrt{3}$）．

點評 此題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉問題，要熟練掌握，解答此題的關鍵是分別判斷出A_n的橫坐標、縱坐標各是多少．