Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經過等腰Rt△AOB的直角頂點A，交y軸于C點，雙曲線y=

k

x

也經過A點．
（1）求點A坐標；
（2）求k的值；
（3）若點P為x正半軸上一動點，在點A的右側的雙曲線上是否存在一點M，使得△PAM是以點A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）若點P為x負半軸上一動點，在點A的左側的雙曲線上是否存在一點N，使得△PAN是以點A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥x軸于D，利用△AOB為等腰直角三角形得到OD=AD=BD，然后設A（a，a），則a=3a-4，解得a=2從而表示出點A的坐標；
（2）根據點A在反比例函數的圖象上將點A代入反比例函數的解析式即可求得k的值；
（3）設M（m，n）根據∠PAM=∠OAB=90°得到∠OAP=∠BAM，從而證得△OAP≌△BAM，得到∠ABM=∠AOP=45°，從而 MB⊥x軸再根據OB=4求得點M的坐標即可．  
（4）過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點，連接AQ，過A點作AP⊥AQ交x軸于P點．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據全等三角形的性質及函數圖象與點的坐標的關系得出結果．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于D
∵△AOB為等腰直角三角形
∴OD=AD=BD
設A（a，a），
則a=3a-4，
解得a=2
∴點A（2，2）；

（2）又點A在y=

k

x

上，
∴k=4，反比列函數為y=

4

x

；

（3）存在．                    
設M（m，n）
∵∠PAM=∠OAB=90°
∴∠OAP=∠BAM
∵OA=AB  AP=AM
∴△OAP≌△BAM
∴∠ABM=∠AOP=45°
∴∠OBM=90°，即MB⊥x軸
∵△ABO是等腰直角三角形，A（2，2）
∴OB=4  
∵點M在y=

4

x

上
∴M（4，1）；

（4）不存在                  
由（3）中所證易知：
假設在雙曲線上存在點N，
若△PAN為等腰直角三角形
則：△PAB≌△NAO
∴∠NOA=∠PBA=45°
∴∠NOB=90°
則點N在y軸上，
∴點N不在雙曲線上
∴點N不存在．

點評：本題考查反比例函數解析式的確定、等腰直角三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．