Question

【題目】如圖1，點D位于△ABC邊AC上，已知AB是AD與AC的比例中項．
（1）求證：∠ACB=∠ABD；
（2）現有點E、F分別在邊AB、BC上如圖2，滿足∠EDF=∠A+∠C，當AB=4，BC=5，CA=6時，求證：DE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是AD與AC的比例中項．

∴ ，

又∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴∠ACB=∠ABD

（2）證明：∵△ABD∽△ACB，

∴ ，即 ，

解得：AD= ，BD= ，

∴CD=AC﹣AD=6﹣ = ，

∴BD=CD，

∴∠DBC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ABD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵∠EDF=∠A+∠C，∠A+∠C=180°﹣∠ABC，

∴∠EDF+∠ABC=180°，

∴點B、E、D、F四點共圓，

∴ ，

∴DE=DF

【解析】（1）證出△ABD∽△ACB，得出對應角相等即可；（2）由相似三角形的性質得出對應邊成比例求出AD= ，BD= ，得出BD=CD，由等腰三角形的性質得出∠DBC=∠ACB，證出∠ABD=∠BDC，再證明點B、E、D、F四點共圓，由圓周角定理得出 ，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．