Question

如圖，已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6cm；D為AC上一點（不與A、C不重合），過D作DQ⊥AC（DQ與AB在AC的同側）；點P從D點出發，在射線DQ上運動，連接PA、PC．
（1）當PA=PC時，求出AD的長；
（2）當△PAC構成等腰直角三角形時，求出AD、DP的長；
（3）當△PAC構成等邊三角形時，求出AD、DP的長；
（4）在運動變化過程中，△CAP與△ABC能否相似？若△CAP與△ABC相似，求出此時AD與DP的長．

Answer 1

解：（1）AD=AC=BCtan60°=3；


（2）同（1）AD=3
∵∠PCD=∠DPC=45°，
∴PD=AD，
∴PD=3；


（3）AD=3DP=9；


（4）①AD=×3=，DP=；
②AD=，DP=．

分析：（1）由題意可知：當PA=PC時，△PAC為等腰三角形，則D點為AC的中點，則AD=AC，故可求得AD的長度；
（2）當△PAC構成等腰直角三角形時，∠PCD=∠DPC=45°，則PD=AD，由（1）可知AD的長度，則可得出PD的長度；
（3）當△PAC構成等邊三角形時，∠PAD=60°，在直角△PAD中，根據勾股定理可以求得PD的長；
（4）要想使兩三角形相似，△APC必須滿足的條件是∠APC=90°，因此本題要分兩種情況進行討論：
①當∠PCA=∠BAC=30時°，可在直角三角形PAC中根據AC的長和∠PCA的度數，求出AP的長，然后在直角△ADP中，根據AP的長和∠PAC的度數即可求出AD、DP的長；
②當∠PAC=∠BAC=30°時，此時P在直角△ABC的斜邊AB上，且CP⊥AB．然后可按照①的方法求出AD、DP的長．
點評：本題考查了直角三角形的性質，等邊三角形的判定以及相似三角形的判定等知識點．本題較復雜，要注意（4）中要根據對應角的不同，分類討論，不要漏解．