Question

如圖，一次函數y=kx+2的圖象與反比例函數的圖象交于點P，點P在第一象限，PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B．一次函數的圖象分別交x軸、y軸于點C、D，且S_△PBD=4，．
（1）求點D的坐標及BD長；
（2）求一次函數與反比例函數的解析式；
（3）根據圖象直接寫出當x＞0時，一次函數的值大于反比例函數值的x的取值范圍；
（4）若雙曲線上存在一點Q，使以B、D、P、Q為頂點的四邊形是直角梯形，請直接寫出符合條件的Q點的坐標．

Answer 1

解：（1）在y=kx+2中，當x=0，得：y=2，
∴點D的坐標是（0，2），
∵AP∥OD，
∴△PAC∽△DOC，
∵=，
∴==，
∴AP=6，
∵BD=6-2=4，
答：點D的坐標是（0，2），BD的長是4．

（2）∵S_△PBD=PB•BD=×PB×4=4，
∴BP=2，
∴P（2，6），
把P（2，6）分別代入y=kx+2和y=得：k=2，m=12，
∴一次函數的解析式是y=2x+2，反比例函數的解析式是y=，

（3）由圖形可知一次函數的值大于反比例函數值的x的取值范圍是x＞2．

（4）Q（6，2）．
分析：（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐標；根據相似三角形的判定得出=，求出AP，即可求出BD；
（2）根據三角形PBD的面積求出P的坐標，把P的坐標分別代入一次函數和反比例函數的解析式求出即可；
（3）根據圖象上P的坐標求出即可；
（4）作DQ∥x軸，把y=2代入反比例函數的解析式，求出即可．
點評：本題綜合考查了相似三角形的性質和判定，用待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，直角梯形，一次函數與反比例函數的交點問題等知識點，此題綜合性比較強，培養了學生分析問題和解決問題的能力，同時也培養了學生的觀察能力，數形結合思想的巧妙運用．