Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點P從點A出發，沿A﹣B﹣C運動，速度為每秒1個單位長度．點Q從點C出發，沿C﹣A﹣D運動，沿C﹣A運動時的速度為每秒1個單位長度，沿A﹣D運動時的速度為每秒3個單位長度．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點D時，P、Q兩點同時停止運動．連結PQ、CP．設△APQ的面積為S，點P的運動時間為t（秒）．

（1）當t＝6時，求AQ的長．

（2）當點Q沿C﹣A運動時，用含t的代數式表示點Q到AB、BC的距離．

（3）求S與t的函數關系式．

（4）在點P運動的過程中，直接寫出△APQ與△CPQ同時為鈍角三角形時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AQ＝3;（2）點Q到AB的距離：;點Q到BC的距離：;（3）見解析;（4）見解析.

【解析】

（1）如圖1中，畫出圖形求出AQ即可；

（2）如圖2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．則四邊形MBNQ是矩形，可得QM=BN，QN∥AB，推出，可得，由此即可解決問題；

（3）分三種情形求解①如圖3中，當0＜t≤3時，②如圖4中，當3＜t≤5時，③如圖5中，當5＜t≤時；

（4）求出三個特殊位置的t的值即可解決問題.

（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，AC＝＝＝5，

∴t＝6時，點Q在AD時，

AQ＝3（t﹣5）＝3×（6﹣5）＝3．

（2）如圖2中，QM⊥AB于M，QN⊥BC于N．則四邊形MBNQ是矩形，

∴QM＝BN，QN∥AB，

∴，

∴，

∴QN＝t，CN＝t，

∴QM＝BM＝4﹣t．

∴點Q到AB的距離：4-t．

點Q到BC的距離：t；

（3）①如圖3中，當0＜t≤3時，

S＝APQM＝t（4﹣t）＝﹣t2+2t．

②如圖4中，當3＜t≤5時，

S＝S△ABC﹣S△ABP﹣S△QPC＝×3×4﹣×（7﹣t）t﹣（t﹣3）×3＝t2﹣t+．

③如圖5中，當5＜t≤時，

；

（4）如圖6中，

當PQ∥BC時，

∵AP：AB＝AQ：AC，

∴t：3＝（5﹣t）：5，解得t＝，

如圖7中，

當PQ∥AB時，CP：CB＝CQ：CA，

∴（7﹣t）：4＝t：5，解得t＝，

如圖8中，

當AQ＝BP時，3（t﹣5）＝t﹣3，解得t＝6，

∴當0＜t＜或＜t＜5或5＜t＜6時，△APQ與△CPQ同時為鈍角三角形．