Question

在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐標系中，我們把橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整數點，請在第一象限內求作一個整數點C，使得AC=BC，且AC的長為小于4的無理數，則C點的坐標是________，△ABC的面積是________；
（2）試求出△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

解：（1）作AB的垂直平分線，從圖形中可以看出C點的坐標是C₁（1，1），C₂（5，5）
過A作AH⊥Y軸于H，過B作BM⊥Y軸于M，BF⊥X軸于F，過C作CG⊥Y軸于G，CE⊥X軸于E，
當C₁（1，1）時，S_△ABC=S_梯形AHMB+S_矩形BMOF-S_梯形AHGC-S_{正方形OGCE}-S_梯形CEFB，
=×（2+4）×2+4×2-×（1+2）×（4-1）-1×1-×（1+2）×（4-1），
=4；
當C₂（5，5）時，同法可求S_△ABC=4；
故答案為：（1，1）和（5，5），4．

（2）如圖，在△ABC中，作CD⊥AB于D，連接AE，E為圓心，
∵由勾股定理得：AC=BC=，AB=2，
∴CD=2，
設半徑AE=CE=x，則x²=（）²+（2-x）²，
∴半徑x=．
答：△ABC外接圓的半徑是．
分析：（1）作AB的垂直平分線，C在AB的垂直平分線上，由此得出答案，把△ABC的面積轉化成能用點的坐標求的規則圖形的面積如圖，即可求出答案；
（2）作AB邊上的高CD，設半徑r，由勾股定理列出方程，即可求出答案．
點評：本題主要考查了三角形的外接圓和外心，坐標與圖形性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識點，解此題的關鍵是把不規則的圖形轉化成規則的圖形利用坐標求出面積，用的數學思想是分類討論思想和方程思想．