Question

火車與公路交叉處設置人工控制的欄桿，圖是欄桿的示意圖．欄桿全長AB=6m，在欄桿的左端安裝配重，使欄桿和配重總體的重心位于O點．欄桿的P點安裝轉軸，轉軸與支架C連接，使欄桿能繞P在豎直平面無摩擦轉動，支架C用兩塊木板做成，中間空隙可以容納欄桿．欄桿的B端擱置在支架D上，當支架D上受到壓力為F_D時，欄桿恰好在水平位置平衡．當體重為G_人的管理人員雙腳站在水平地面時，他對地面的壓強是p₁；當他用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開支架，此時人雙腳對地面的壓強是p₂．管理人員繼續用力可使欄桿逆時針轉動至豎直位置，并靠在支架C上．火車要通過時，他要在A端用力F₂使欄桿由豎直位置開始離開支架C，使欄桿能順時針轉動直至欄桿B端又擱置在支架D上．已知AP=OP=1m，PE=m，O點到欄桿下邊緣的距離OE=0.5m，p₁：p₂=2：1，欄桿與配重的總重G_桿=240N．
求：（1）F_D
（2）G_人
（3）F₂的最小值，此時F₂的方向．（計算和結果可帶根號）

Answer 1

解：（1）支架D受到的壓力F_D與支架D對桿的支持力F_B是一對相互作用力，F_D=F_B，
欄桿能繞P轉動，欄桿恰好在水平位置平衡，根據杠桿平衡條件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_桿?PE=F_D?PB，
240N?m=F_D?（6m-1m），
所以，F_D=72N．
當管理人員用力F₁豎直向下壓A端，杠桿處于水平位置平衡，根據杠桿平衡條件F₁?l₁=F₂?l₂得：
G_桿?PE=F₁?AP，
240N?m=F₁?1m，
所以，F₁=360N．
（2）S為人與地面的接觸面積，人站在水平地面對地面的壓強：p₁==，
用力F₁后，人對地面的壓力為G_人-F₁，人對地面的壓強：p₂==，
p₁：p₂=2：1，
即：：=2：1，
=，
所以，G_人=720N．
（3）當欄桿在豎直位置時，欄桿重力的力臂大小等于為OE，要最省力，需要的力臂最長，在A點水平向左拉動欄桿．如圖．

根據杠桿平衡條件得，G_桿?OE=F₂?PA，
240N?0.5m=F₂?1m，
F₂=120N．
答：（1）F_D=72N．（2）G_人=720N．（3）F₂的最小值，此時F₂的方向在A點沿水平方向向左．
分析：欄桿能繞P在豎直平面無摩擦轉動，欄桿的B端擱置在支架D上，當支架D上受到壓力為F_D時，杠桿右端受到豎直向上的力大小等于F_D，欄桿恰好在水平位置平衡，根據杠桿平衡條件求出大小F_D．
當管理人員用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開支架，杠桿還處于水平位置平衡，根據杠桿平衡條件求出F₁大�。�
當體重為G_人的管理人員雙腳站在水平地面時，他對地面的壓強是p₁；當他用力F₁豎直向下壓A端，使欄桿的B端剛好離開支架，此時人雙腳對地面的壓強是p₂．根據P₁和P₂的關系，求出人的體重．
管理人員要在A端用力F₂使欄桿由豎直位置開始離開支架C，使欄桿能順時針轉動直至欄桿B端又擱置在支架D上．在豎直方向上，欄桿有向逆時針轉動的趨勢，所以要阻礙欄桿逆時針轉動．所以在欄桿的A點施加水平向左的力，根據杠桿平衡條件，求出F₂的大�。�
點評：本題欄桿看出一個繞P點轉動的杠桿，欄桿三次處于水平位置平衡，根據杠桿平衡條件列出等式，求出未知量．
人站在地面上，對地面有壓強，人壓欄桿時，對欄桿有壓力作用，根據物體間力的作用是相互的，欄桿對人有拉力的作用，人對地面有壓強，根據兩次壓強的關系，求出人的重力．