Question

從高空下落的物體，速度越來越大，所受空氣阻力也會隨速度的增大而增大，因此物體下落一段距離后將以某一速度作勻速直線運動，通常把這個速度稱為收尾速度．
（1）一質量為0.3kg的小球在加速下落20m高度的過程中重力所做的功是

60

J（g取10N/kg）．
（2）研究發現，相同環境條件下，空氣對不同材質的球形物體的阻力大小與球的半徑和速度都有關系．下表為某次研究的實驗數據，根據表格中的數據，請你求出編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比：

1：9

．

小球編號	1	2	3
小球質量（×10-2kg）	2	5	45
小球半徑（×10-3m）	0.5	0.5	1.5
小球的收尾速度m/s	16	40	40

（3）請你根據上面表格的數據，估計球形物體所受的空氣阻力f與球的收尾速度v的關系是：

f與v成正比

．
（4）請你根據上面表格的數據，估計球形物體所受的空氣阻力f與球的半徑r的關系是：

f與r²成正比

．

Answer 1

分析：（1）求出物體的重力，然后由功的計算公式求出重力做的功；
（2）物體做勻速直線運動時，重力與阻力是一對平衡力，這樣根據小球的質量可求出其所受空氣阻力之比；
（3）要求物體所受的空氣阻力f與球的收尾速度V的關系先保證小球的半徑相同，從表中可以看出，
編號為1、2兩個小球的數據分析，在半徑r相同的情況下，收尾速度之比已知，再求出阻力之比，阻力之比等于重力之比，從而得出結論．
（4）要想分析物體所受的空氣阻力f與球的半徑r的關系，必須選擇收尾速度相同時的數據，再參照對空氣阻力f與收尾速度v的分析思路進行分析．

解答：解：（1）重力做的功：W=Gh=mgh=0.3kg×10N/kg×20m=60J；
（2）小球達到收尾速度時，做勻速直線運動，小球受平衡力f=mg，
所以編號2、3小球在達到收尾速度時所受空氣阻力之比

f2

f3

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

5×10-2kg

45×10-2kg

=

1

9

；
（3）由編號為1、2兩個小球的數據分析，在半徑r相同的情況下，
收尾速度之比v₁：v₂=2：5，空氣阻力之比f₁：f₂=m₁g：m₂g=2：5，
得出結論：f與V成正比．
（4）由編號2、3兩個小球的數據分析，在收尾速度v相同的情況下，
小球半徑之比

r2

r3

=

0.5×10-3m

1.5×10-3m

=

1

3

，

r 2 2

r 2 3

=(

1

3

)2=

1

9

，
空氣阻力之比

f2

f2

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

5×10-2kg

45×10-2kg

=

1

9

，
則

f2

f3

=

r 2 2

r 2 3

，由此可知：f與r²成正比．
故答案為：（1）60；（2）1：9；（3）f與v成正比；（4）f與r²成正比．

點評：通過此題考查了對重力做功的計算，利用二力平衡分析空氣的阻力，尤其是對球形物體所受空氣阻力f與球的半徑r的關系的分析是本題的難點，此題也為我們提供了一個很好的參照，值得我們借鑒．