Question

復印機的掃描器是由截面為正六邊形、表面為鏡面的柱體構成，正六邊形的邊長為a，柱體可以繞轉動軸O轉動（如圖所示）．在掃描器右側并排豎直放置一個薄透鏡，透鏡的焦距為f，透鏡的主光軸通過掃描器的轉動軸O．在透鏡右焦平面放置一光屏，光屏的中心位于主光軸上．現有一豎直光束，其延長線與轉動軸距離

a

2

，從圖示位置射向掃描器．
（1）請用尺規作圖，畫出該光線通過系統后射到光屏上的位置．
（2）求射到主光軸上方光屏的光點到主光軸的最大距離d．

Answer 1

分析：（1）凸透鏡三條特殊光線作圖：平行于主光軸的光線，經透鏡折射后過焦點；從焦點發出的光線，經透鏡折射后與主光軸平行；
過光心的光線其傳播方向不改變．
（2）根據鏡面從圖示位置每轉過60°，入射點的法線與豎直方向上的夾角的變化，可知，鏡面在轉動過程中，反射光線與入射光線的最大夾角，然后根據反射光線偏離主光軸（主光軸上方）的最大夾角為30°，作其副光軸交于焦平面，求得d．

解答：解：（1）過光心的光線其傳播方向不改變，從焦點發出的光線，經透鏡折射后與主光軸平行，如下圖所示．
（2）鏡面從圖示位置每轉過60°，入射點的法線與豎直方向上的夾角從30°增大到60°，又減小到30°，因此鏡面在轉動過程中，反射光線與入射光線的最大夾角為120°，所以，反射光線偏離主光軸（主光軸上方）的最大夾角為30°，作其副光軸交于焦平面，如圖所示，可見d=ftan30°=

1

3

f，
故答案為：

（2）最大距離d=

1

3

f．

點評：此題不僅考查凸透鏡的三條特殊光線，而且還涉及到了正六邊形，以及tan30°的函數值，因此解答此題要求學生應具備一定的學科綜合能力，此題難度較大，屬于難題．