Question

13．用相同材料制成的圓柱體A和B，已知圓柱體A的高度是圓柱體B的4倍，圓柱體B放在水平地面上，圓柱體A放在圓柱體B的正中央（如圖），若圓柱體A對圓柱體B的壓強和圓柱體B對地的壓強相等，則圓柱體A的底面積與圓柱體B的底面積之比是3：4．圓柱體A和圓柱體B所受的重力G_A與G_B之比為3：1．

Answer 1

分析 （1）A對B的壓力等于A的重力，受力面積為A的底面積，根據壓強定義式、重力公式、密度公式把該壓強表示出來；B對地面的壓力等于A、B的重力之和，受力面積為B的底面積，根據壓強定義式、重力公式、密度公式把該壓強表示出來；已知A的高度是B的高度的4倍、兩圓柱體的密度相同、兩壓強相同，列出方程，從而算出底面積之比．
（2）已經求出底面積之比且知道高度之比，根據G=mg和m=ρV求出圓柱體A和圓柱體B所受的重力之比．

解答 解：（1）根據題意可知，h_A=4h_B，兩圓柱體的密度相同，設它們的密度均為ρ；
圓柱體A對圓柱體B的壓強：
p_A對B=$\frac{{F}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{ρ{V}_{A}g}{{S}_{A}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{A}}$=ρgh_A；
圓柱體B對地的壓力等于兩個圓柱體的總重力，則圓柱體B對地的壓強：
p_B對地=$\frac{{F}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{{G}_{A}+{G}_{B}}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g+ρ{S}_{B}{h}_{B}g}{{S}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B；
已知p_A對B=p_B對地，
所以ρgh_A=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B-----①
將h_A=4h_B代入①式可得：
ρg×4h_B=$\frac{ρ{S}_{A}×4{h}_{B}g}{{S}_{B}}$+ρgh_B-----②
整理②式解得：$\frac{{S}_{A}}{{S}_{B}}$=$\frac{3}{4}$；
（2）根據G=mg和m=ρV可得，圓柱體A和圓柱體B所受的重力之比：
$\frac{{G}_{A}}{{G}_{B}}$=$\frac{ρ{S}_{A}{h}_{A}g}{ρ{S}_{B}{h}_{B}g}$=$\frac{{S}_{A}{h}_{A}}{{S}_{B}{h}_{B}}$=$\frac{3×4{h}_{B}}{4×{h}_{B}}$=$\frac{3}{1}$．
故答案為 3：4；3：1．

點評 本題考查了質量、重力、壓力和壓強的計算和推導，知道B對地的壓力等于兩個圓柱體的總重力是解題的關鍵之一，同時要注意區分受力面積；根據題意列出正確的方程并求解是本題的難點．