Question

（2013?西城區二模）如圖甲所示，質量為m的小球有

1

4

的體積浸入圓柱形水槽的水中；若換用一根更長的線拴小球，則球有

1

2

的體積浸入水中，先后兩次臺秤示數變化了5N．若將線剪斷，小球恰好懸浮在水中，如圖乙所示，此時水深為h₁，臺秤的示數為F₁．若將水槽中的水換成同質量的鹽水，再將小球放入鹽水中，如圖丙所示，鹽水深為h₂，臺秤示數為F₂．已知水的質量是4kg，圓柱形水槽的質量是1kg，水槽的底面積為2dm²，g取10N/kg，下列判斷正確的是（　�。�

A．h₂＞h₁

B．h₂-h₁=0.1m

C．m=1kg

D．F₁=F₂=70N

Answer 1

分析：（1）根據小球受到的浮力和臺秤示數變化列出等式解之即可求出小球的體積，因為小球能懸浮在水中，則浮力等于重力，于是即可求出質量．
（2）根據得到的數據，分別求出h₁、h₂然后比較．
（3）知道臺秤示數就是顯示的水槽總重力，求出總重力即可比較F₁=F₂．

解答：解：（1）∵臺秤示數是水槽與水的總重力，再加上小球對水向下的壓力，
∴臺秤示數變化就等于小球受到的浮力變化，
即：F_浮2-F_浮1=△F，
根據阿基米德原理可得：
ρ_水g

1

2

V-ρ_水g

1

4

V=△F，
則V=

4△F

ρ水g

=

4×5N

1×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-3m³，
∵若將線剪斷，小球能懸浮在水中，則G_球=F_浮，即：m_球g=ρ_水gV，
∴m_球=ρ_水V=1×10³kg/m³×2×10^-3m³=2kg；故C選項錯誤．
（2）如圖乙所示小球懸浮在水中，
此時水深為h₁=

V水+V排

S底

=

m水 ρ水 +V

S底

=

4kg 1×103kg/m3 +2×10-3m3

2×10-4m2

=

1

ρ水

×3×10^-4m；
如圖丙所示小球放入鹽水中，因小球處于漂浮，所以F_浮=G_球，
即：ρ_鹽gV_排鹽=m_球g，
所以，V_排鹽=

m球

ρ鹽

，
又m_鹽=m_水=2kg，
則鹽水深為h₂=

V鹽+V排鹽

S底

=

m鹽 ρ鹽 + m球 ρ鹽

S底

=

4kg ρ鹽 + 2kg ρ鹽

2×10-4m2

=

1

ρ鹽

×3×10^-4m
∵ρ_鹽＞ρ_水，
∴h₂＜h₁，故A選項錯誤；
而h₁=

1

ρ水

×3×10^-4m=

1

1×103kg/m3

×3×10^-4m=0.3m；
∵ρ_鹽略大于ρ_水，ρ_鹽＜1.5ρ_水，
∴h₂=

1

ρ鹽

×3×10^-4m＞

1

1.5×103kg/m3

×3×10^-4m=0.2m；
∴h₁-h₂＜0.3m-0.2m=0.1m．故B選項錯誤．
（3）∵臺秤示數就是顯示的水槽總重力，
∴F₁=G_槽+G_水+G_球=1kg+4kg+2kg=7kg，
F₂=G_槽+G_鹽+G_球=1kg+4kg+2kg=7kg，
所以，F₁=F₂，故D選項正確．
故選D．

點評：本題通過容器里液體中的物體對臺秤示數的影響，考查阿基米德原理和物體的浮沉條件，關鍵是知道臺秤示數就是顯示的水槽總重力和小球對水產生的壓力會對臺秤示數產生變化，本題難度較大，還需要利用極值法．