Question

14．身高1.5m的某同學沿平直路線勻速行走，路燈在行進路線的正上方某一高度．某時刻人影的長度為0.6m，前進4m后，影長變為1.4m．求路燈的高度．（提示：如圖所示的兩直角三角形ACB、DEB的邊長之間存在如下關系：$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}$）

Answer 1

分析 根據在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似解答即可．

解答 解：情形1：人遠離路燈．根據光的直線傳播，可作出甲所示光路．圖中AC為路燈的高度，D₁E₁、D₂E₂為身高，E₁E₂為行走的距離，B₁E₁、B₂E₂為前后兩次的影長．

根據提示，可得$\frac{AC}{D1E1}=\frac{B1C}{B1E1}=\frac{CE1+B1E1}{B1E1}$
及  $\frac{AC}{D2E2}=\frac{B2C}{B2E2}=\frac{CE1+E1E2+B2E2}{B2E2}$
考慮到D₁E₁=D₂E₂，將各已知量代入，解得路燈的高度
AC=9m
情形2：人先靠近、后遠離路燈．根據光的直線傳播，可作出乙所示光路．
根據提示，可得$\frac{AC}{D1E1}=\frac{B1C}{B1E1}=\frac{CE1+B1E1}{B1E1}$
及  $\frac{AC}{D2E2}=\frac{B2C}{B2E2}=\frac{E1E2-CE1+B2E2}{B2E2}$
考慮到D₁E₁=D₂E₂，將各已知量代入，解得路燈的高度
AC=4.5m．
答：路燈的高度是9m或4.5m

點評 本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題．