Question

【題目】導體質量為、長為，兩端借助兩根同樣的導電輕彈簧懸掛在電介體上，彈簧總勁度系數為.電容為 的電容器接在兩彈簧上端.整個結構掛在垂直結構平面、磁感強度為的均勻磁場中，如圖所示.讓導體在豎直面上離開平衡位置再放下.試確定導體在豎直面上將怎樣運動？導體電阻、自感和電容不計.

Answer 1

【答案】取x軸為豎直向下方向，坐標原點為桿的平衡位置。振幅A等于桿初始時刻的位移，于是任何時刻有

【解析】

取軸為豎直向下方向，坐標原點為桿的平衡位置（圖示）.設在這個位置每根彈簧的增長量均為，根據牛頓第二運動定律有.

當桿離開平衡位置移動時，它開始做加速運動，其加速度指向平衡位置.同時桿中產生感應電動勢，電路中出現電流，電容器開始充電.由于導電彈簧電阻為零，電容器上電壓等于并且電容器上電量等于.因此，在任何時刻電路中電流為

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磁場中帶電桿受到安培力作用，即

安培力什么方向？為了確定起見，設磁場方向垂直紙面向外，當桿豎直向上運動時桿中感生電動勢方向從左向右.在桿位于平衡位置下方情況下，桿中電流方向與感應電動勢方向一致，于是電容器充電.同時力向下，即與桿加速度的方向相反.在桿出現在平衡位置上方情況下，感生電動勢方向保持不變，但是桿的速度以及感生電動勢減小.這時電容器放電，桿中電流改變方向，因而力也改變方向，現在它的方向向上，即又與加速度方向相反.可見

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根據牛頓第二定律列出桿的運動方程：

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整理得：.

這是簡諧振動方程，其振動頻率為

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振幅等于桿初始時刻的位移，于是任何時刻有.

在磁場中做切割磁場線運動的金屬桿與電容構成回路的模型有很多種，本題只是其中的代表.

本類試題不論怎樣構造模型，其共性特征是，電容器的充放電電流引起的安培力與金屬桿運動的加速度之間滿足.這一關系的臨場推導是這類試題的主要障礙，且試題多以此為問題的切入點，進而討論相關的問題.