Question

【題目】球面透鏡一般只對近軸光線才能近似地成像。對于下圖所示的彎月形透鏡，當物點位于主光軸上的特殊點時，即使是非近軸光線，經透鏡折射后的出射光線也均能交于同一點，即能理想成像。今有一彎月形透鏡，透鏡折射率為n，放置在空氣中，兩球面，和的球心分別為和，球面的半徑為。已知，物點Q位于點。試證明：

(1)從Q點發出的任何經透鏡的光線（包括非近軸光線），經透鏡折射后，出射光線都能相交于同一像點；

(2)。

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

解析 首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無折射地通過面，所以對來說，物點就在處。

再考慮到面上的折射。設入射光線與主軸的夾角為，入射點為P，入射角為i，折射角為r，折射線的延長線與主軸的交點為Q（如圖乙所示），則由折射定律知

。

在中應用正弦定理得

。

已知，由此得，

，

所以。

設CP與主軸的夾角為α，則有

。

顯然，時，a，因此出射線與主軸相交之點Q必在透鏡左方。

為的外角，有

。

在中應用正弦定理，得

，。

的數值與無關，由此可見，所有出射線的延長線都交于同一點，且此點與的距離為