Question

【題目】如圖所示，空間有互相正交的勻強電場和勻強磁場，沿方向，沿方向．一個帶正電、質量為的粒子（設重力可以忽略），從坐標原點開始無初速出發，求粒子坐標和時間的函數關系，以及粒子的運動軌跡．

Answer 1

【答案】① ② ③粒子的運動軌跡為旋輪線

【解析】

粒子從點起無初速出發，受恒定電場力作用沿方向運動．因為速度的大小、方向都改變的洛侖茲力僅在平面上起作用，粒子軌跡一定不會離開平面且一定以為起點，既然粒子僅受的兩個力中，一個是恒力，一個是變力，利用獨立性與疊加原理，我們設想把洛侖茲力分解為兩個分力，使一個分力跟恒電場力抵消，這就把實際受力簡化為只受一個洛侖茲力分力的問題。注意此處不是場的分解和抵消，而是通過先分解速度再達到對力進行分解和疊加．

我們都知道，符合一定大小要求的彼此正交的勻強復合電磁場能起速度選擇器作用．受其原理啟發，設想粒子從點起（此處）就有一個沿軸正方向、大小為的始終不變的速度．當然在點同時應有一個沿方向的大小也是的速度，保證在點，則，沿方向，沿方向，彼此抵消，可寫成．因任一時刻，所以，，或改寫成：．式中的三個速度和三個都在平面上，其物理意義是：粒子在復合場中受的兩個真實的力和的矢量和，可以用一個洛侖茲力分力來代替，這樣做的一個先決條件是把粒子運動看成以下兩個分運動的合成：

①沿方向的的勻速直線運動；

②在平面上的一個勻速圓周運動．

其理由是：是平面力，軌跡又是平面的而不是三維空間的，所以必與垂直，在點就是，之后不對粒子做功，大小不變，充當向以力．這個圓周運動特征量是，，．

時刻，粒子位于點，此時起粒子具有兩個速度：一是之后方向始終不變、大小為的速度．由這個速度引起的洛侖茲力跟電場力抵消，另一個速度是在點時沿方向的大小為的速度，該速度引起的洛侖茲力指向點，這點就時的圓心．之后該圓心以速率沿平行于軸正向的方向無滑動開始平動，粒子是該圓周上的一個點，且時恰好就是該圓與軸的切點即坐標原點，此后，粒子相對圓心以角速度順時針繞行，如圖乙所示．在平面上，粒子的運動軌跡被稱為旋輪線，其坐標值隨時間變化的參數方程為

， ①

， ②

． ③

本題是物理競賽試題中最經典的試題之一．

首先，本題解答中對粒子運動狀態的處理，既特別又具有典型性．即在粒子的運動中分解出一個勻速直線運動，使其因運動而受到的洛侖茲力與其受到的恒定電場力（有的模型中為粒子的重力）構成平衡，從而粒子的運動是一個勻速直線運動與一個勻速圓周運動的合成．

其次，本題問題設置的可塑性很大．至少，粒子初速度的設置就可能導致軌跡方程表述的復雜程度發生大的變化，還有可能涉及過程中物理量的討論與計算，如加速度、曲率半徑等．

再次，本題中粒子的軌跡方程是旋輪線，物理中圍繞旋輪線能做大量的文章，如對形成此類軌跡的力學模型的研究，它與等時擺線的關系．

最后，有一定數學能力的學生，不妨嘗試把參數消去得出與的關系式，用來表示其軌跡的方法，并在此基礎上研究等時擺．

總之，競賽學習過程中，深挖此題的功能，一定會有較大的收獲．