Question

【題目】如圖所示，有一均勻帶負電的正方形絕緣線框，每邊邊長為，線框上串有許多帶正電的小球（看成質點），每個小球的帶電量為，每邊的總帶電量為零（即線框的帶電量和各小球的帶電量互相抵消）. 今各小球相對線框以速率沿絕緣線做勻速運動，在線框參考系中測得相鄰兩小球的間距為，線框又沿邊以速率在自身平面內相對系做勻速運動. 在線框范圍內存在一均勻電場，其方向與線框平面的傾角為. 考慮相對論效應，試在系中計算以下各量.

（1）線框各邊上相鄰兩小球的間距，，，

（2）線框各邊的凈電量，，，

（3）線框和小球系統所受的電力矩大小

（4）線框和小球系統的電勢能.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）（4）

【解析】

（1）令為觀察到的環路以速度運動的實驗室參照系，為環路參照系（系的軸與同向，沿著邊的方向，軸則垂直于環路所在平面）. 系各軸平行于系各對應軸，與系的坐標原點在時重合.

（a）邊

建立與邊上的小球一起運動的參照系，它的各坐標軸與，系的坐標軸平行. 相對具有速度.

據洛倫茲收縮，測得的邊上相鄰兩個小球之間的距離為

. ①

（只要是在相對小球靜止的參照系中測得的相鄰兩球間距，上式對任何一條邊均成立）

據相對論速度求和公式，系中的觀察者認為邊上各球具有的速度為

. ②

再據洛倫茲收縮，此觀察者將測得邊上相鄰兩球的間距為

. ③

將①②式代入到③式，可得

. ④

（b）邊

對系中的觀察者而言，邊上小球的速度為

. ⑤

再據洛倫茲收縮有

. ⑥

將①⑤式代入到⑥式，便得

. ⑦

（c）邊

在系中，令邊上的某一小球在時刻位于處. 在同一時刻，鄰近的一個小球應位于，，處.

各球相對于系的空——時坐標可由洛倫茲變換式給出

；，；. ⑧

據此，第一個小球在系中有

；，；. ⑨

第二個小球則為

；，；. ⑩

由于，系中這兩個小球之間的距離便為

，

即得.

（4）邊

重復上述相似的結論，可得

.

（其實，由于，邊與垂直，無洛倫茲收縮，故）

（2）在環路參照系中，每一條邊線上的電荷量為.

在此已考慮到為各邊上的小球數. 由于電荷是運動不變量，在實驗室參照系中測得的各邊線電荷量也為此值.

（a）邊在實驗室參照系中，邊上各球電荷量之和為

.

此式系由邊上小球數乘以每一小球電荷量（運動不變量）來獲得. 式右邊第一項中的分子為系中觀察者測得的運動收縮邊長，分母則為相鄰小球的間距.

將④式代入到式中，可得

.

將式和式相加，便得邊上總電荷量為

.

（b）邊用相同的方法可得

.

將和式式相加，可得

.

（c）邊和邊在系中觀察者測得這兩條邊的邊長均為，相鄰兩球的間距也均為，因此

. /span>

將和式相加，可得

， （21.1）

. （21.2）

（3）作用在邊上的電場力為

.

作用在邊上的電場力為

.

與形成一力偶. 據力偶的力矩表達式，可得（參見圖1）

.

最后可表達成

.

（4）顯然，線框上與兩邊上的電荷的總電勢能為零，或者不予考慮.

令和分別為邊上各點和邊上各點的靜電勢（指場強為的外電場的電勢），那么有.

將電勢零位（）選在與垂直的一個平面上，此平面與邊的間距為某一任意量（見圖2），于是

.

但，故

.

將式代入到式，便得

.

本題是第22屆國際物理奧林匹克競賽試題.首先，對于運動的系統，在考慮相對論效應時，不同的參照系間的時空會發生變化，物體的質量也要發生變化，但電量卻是不變的.其次，不要糾結于為什么在線框系中各邊的總電量為零，而到了實驗室參照系中各邊的總電量就不為零了. 因為對于邊線而言，它在線框系中是靜止的，在實驗室系看來，其上的電荷分布是與線框在一起的，因而，線框上的電量不會變化，但小球是運動的，在實驗室系中看，雖然每個球上的電量是不變的，但每個邊上的小球數量并不相同，于是有了解答中的結果.再次，本題也提示我們在學習相對論知識的過程中，應該注意到哪些是與參照系相關的量，哪些是與參照系無關的不變量.最后，本題所要求的量很多，上面的解答也為我們提供了一個很好的程序法的示例：將問題逐個排序解決，從而保證了解答過程的清晰明了，避免出現疏漏及錯誤.