Question

【題目】在光滑的水平地面上有一輛車，車內有一個人和N個鉛球，系統原來處于靜止狀態�，F車內的人以一定的水平速度將鉛球一個一個地向車外拋出，車子和人將獲得反沖速度。第一過程，保持每次相對地面拋球速率均為v，直到將球拋完；第二過程，保持每次相對車子拋球速率均為v，直到將球拋完。試問：哪一過程使車子獲得的速度更大？

Answer 1

【答案】第一過程使車子獲得的速度較大。

【解析】

動量守恒定律必須選取研究對象之外的第三方為參照，這意味著，本問題中不能選車子為參照。一般選地面為參考系，這樣對“第二過程”的鉛球動量表達，就形成了難點，必須引進相對速度與絕對速度的關系。至于“第一過程”，比較簡單：N次拋球和將N個球一次性拋出是完全等效的。

設車和人的質量為M，每個鉛球的質量為m。由于矢量的方向落在一條直線上，可以假定一個正方向后，將矢量運算化為代數運算。設車速方向為正，且第一過程獲得的速度大小為，第二過程獲得的速度大小為。

第一過程，由于鉛球每次的動量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。

由車子、人和N個球動量守恒有

，得。 ①

第二過程，必須逐次考查鉛球與車子（人）的作用。

第一個球與（N-1）個球、人、車系統作用，完畢后，設“系統”速度為。值得注意的是，根據運動合成法則，，鉛球對地的速度并不是，而是。它們的動量守恒方程為

，

得。

第二個球與（N-2）個球、人、車系統作用，完畢后，設“系統”速度為。它們動量守恒方程為

，

得。

第三個球與（N-3）個球、人、車系統作用，完畢后，設“系統”速度為。鉛球對地的速度是。它們動量守恒方程為

，

得。

以此類推（過程注意：先找和關系，再看和v的關系，不要急于化簡通分），的通式已經可以找出：

。

不難發現，和都有N項，每項的分子都相同，但式中每項的分母都比②式中的分母小，所以。結論：第一過程使車子獲得的速度較大。