Question

【題目】如圖所示，勁度系數為，質量為的均勻水平彈簧一端固定，另一端連接質量為的小球，小球與水平地面間無摩擦.讓小球偏離平衡位置點，自由釋放后便可沿圖示的軸振動，在彈簧無形變時，以彈簧的固定端為原點，沿彈簧設置向右的坐標.設小球振動量為時，彈簧中原點的振動量（即相對其初始位置的位移量）為，式中是彈簧的自由長度.這一假設也可簡單地說成：彈簧各處振動量與小球振動量成正比，作此假設后，試求小球的振動周期.

Answer 1

【答案】

【解析】

彈簧為原長時，在鄰域取段，它的質量為

.

小球從平衡位置點移到時，彈簧段相對其初始位置的位移量為，若小球振動速度為，則彈簧段的振動速度為

.

具有的動能為

.

整個彈簧的動能便是

.

系統總能量為

，.

對上式兩邊求導可得：.

則小球振動的角頻率和周期分別為

，.

對于理想模型彈簧振子，我們通常只需交代一句“輕彈簧”足矣，即無須考慮能與振動的彈簧的質量，這顯然是一種近似，是一種理想化.然而，在具體的情境中，彈簧的質量往往是不能忽視的，而且，它也是參與振動，更加復雜的是，彈簧上各點的振動周期雖然相同，但振動的幅度卻并不相同，如果用動力學思想來求解振動的系數，難度是較大的，而能量分析法在此又顯現出巨大的作用.

本題的結果也是值得大家注意的，若考慮彈簧的質量，則只需在振子質量上加上彈簧質量的即可，系統仍等效為一個理想的彈簧振子.此外，這一結論在實驗操作中也是必須考慮的.