Question

【題目】如圖所示，在半徑為的圓筒形真空管中有兩個隔板，將管內分為三個區域，兩隔板中央各有小孔和，兩孔間距為．在左邊的區域中有加速電場，在中間的區域Ⅱ中有沿管軸方向的勻強磁場，在右邊的區域Ⅲ中既無電場也無磁場，區域Ⅰ中的陰極連續發射的電子經其中的電場加速后，使穿過小孔的電子形成發射束進入區域Ⅱ．設穿過小孔的這些電子的速度沿管軸方向的分量均為，設電子之間的相互作用可以忽略．當將區域Ⅱ中沿管軸方向的磁感應強度的大小調到某值時，從小孔進入區域Ⅱ的電子便能穿過小孔射出，把這些磁場的最小值記為．取從到的方向為正方向，區域Ⅱ中的磁場隨時間變化的曲線如圖乙所示，即從起沿正方向，每經時間反向一次，是的變化周期．從開始，電子束連續地從小孔進入區域Ⅱ，設凡遇管壁的電子均被管壁吸收．

（1）為使從小孔進入區域Ⅱ的電子能穿過小孔到達區域Ⅲ，試求磁場變化周期的最小值．

（2）若取磁場變化周期，試在圖乙的時間軸上標明電子能經小孔到達區域Ⅲ的時間區間．

（3）在進入區域Ⅲ的電子束中，電子運動方向與管軸之間夾角的最大值是多少？

Answer 1

【答案】(1)(2)發射電子束能穿過到達區域Ⅲ的時間如圖中時間t軸上的波紋線所示。圖中(3)

【解析】

（1）由題設，經小孔進入區域Ⅱ的發散電子束速度沿管軸的分量均為，這些斜入射的電子在的作用下作等距螺旋運動，螺旋運動的周期，與速度無關，螺距為，式中是電子的質量，是電子電量絕對值．

為使這些電子都能從小孔射出（不計被管壁吸收者），要求等于的整數倍，即

，，

故磁場的大小應為，．

可見，磁場的最小值為，與此相對應，螺距剛好等于孔與孔的間距，即．

現在，設隨時間按圖乙變化，周期為，如果這些電子在進入區域Ⅱ后運動的時間不足，即改變方向，則電子將偏離原螺旋線，不能到達，不能進入區域Ⅲ．因此，為使這些電子能夠到達并進入區域Ⅲ，磁場方向變化的周期必須滿足，故的最小值．

（2）若，則從進入區域Ⅱ的斜入射電子中，在磁場方向沿正向的前一半時間內進入的那些電子可以穿過射出，但在磁場方向沿正向的后一半時間內進入的那些電子就無穿過射出了．換言之，能穿過射出的電子必須在區域Ⅱ中經歷時間，而且在該時間內磁場的方向需保持不變．因此，發射電子束能穿過到達區域Ⅲ的時間如圖丙中時間軸上的波紋線所示．

丙

（3）設斜入射到區域Ⅱ中的電子速度在垂直管軸方向的分量為，則在洛侖茲力作用下，電子圓軌道運動的半徑為，在這些電子中只有滿足的那些電子能在管內運動時不與管壁相碰，從而能到達并進入區域Ⅲ，即要求．利用，可得．

穿過進入區域Ⅲ后，這些電子做直線運動，其運動方向與管軸之間的夾角應滿足，

故最大夾角為．

本題雖然將電子的運動分為三個區域，是典型的多過程的串接模型，但討論的重點在區域Ⅱ，在這一區域中，既要討論電子運動過點所需要的幾何約束（包括沿方向上的與垂直于方向上的），同時要考慮運動的時間約束，計算的難度雖然不大，但涉及的信息量比較大，學生難免顧此失彼．

能否對復雜的運動過程進行正確分析，是鑒別一個人能力高低非常有效的方式，加強狀態與過程分析的訓練，是競賽學生必須訓練的基本功之一．