Question

【題目】質量為、半徑為的勻質球位于傾角為的斜面底端.開始時球的中心速度為零，球相對過中心且與斜面平行的水平軸以角速度旋轉，如圖甲所示，已知球與斜面間的摩擦因數，球在摩擦力作用下會沿斜面向上運動，試求球能上升的最大高度.

Answer 1

【答案】

【解析】

分兩階段討論小球沿斜面的爬高.

第一階段，從開始到小球在斜面上剛達到純滾動狀態.

此階段斜面摩擦力斜向上，是動摩擦力，如圖乙所示.參照圖示參量，可列方程：

，，

，，

，，.

解得

，

，

，.

剛達到純滾動時，有.

該時刻與球心速度分別為

，

.

此階段小球沿斜面爬升路程為

.

第二階段，從剛進入純滾動狀態到小球中心沿斜面向上速度降為零.這一過程中，斜面對小球若無摩擦力，或有向下的靜摩擦力或滑動摩擦力，都會減小，或不變，或增大，球與斜面接觸點相對斜面便會向下滑動，又應受向上滑動摩擦力，有矛盾，不可��；這一過程中，斜面若對小球仍有向上滑動摩擦力，則如第一階段，繼續增大，繼續減小，小球與斜面接觸點向上滑動，應受向下的滑動摩擦力，仍有矛盾，也不可取.

綜上所述，此過程中斜面對小球必定有向上的靜摩擦力，此力一方面使繼續減小，同時與重力分力聯合使也減小，兩者配合，保證小球與斜面接觸點速度為零.可見，第二階段實為小球純滾動減速階段，直到、均降到零為止.

方向如圖丙所示，可列方程組：

，

，

，，

解得

.

同時可解得

.

即小于滑動摩擦力，可見，這一過程的摩擦力確實為靜摩擦力.小球球心速度降為零前，又沿斜面爬升路程為

.

最后，可得小球爬升的高度為

.

本題是質心運動定理與轉動定律應用相結合的典型試題.

在這類模型中，對象的受力不再是共點力，一方面質心的運動遵循牛頓運動定律；另一方面其轉動滿足轉動定律.分析物體的受力，依據上述兩個基本規律列方程是解答此類試題的基本程序.

此外，在這類試題所涉及的過程中，往往會設置一些與轉動速度和平動速度相關的臨界問題，平動加速度和角加速度關聯的問題，很多時候，這類問題中的關聯是我們解答的瓶頸，大家應小心應對.